实际上我也不知道这个该不该放在这里，但是我们确实可以从空间的线性变换的角度来理解雅可比行列式在坐标变换中的作用。我们接下来会列出雅可比行列式出现在的各个地方，以及它为何而出现的几何意义。

雅可比矩阵

雅可比矩阵形如下

\[J=\frac{\partial(x,y,\dots)}{\partial(u,v,\dots)}=\begin{pmatrix}x_u&x_v&\cdots\\y_u&y_v&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}\]

对任意一个变换 $x=f(u,v),y=g(u,v)$，无论其线性与否，当放大到局部的时候，你总可以用它的偏导将这个局部表示为一个线性变换，这就是雅可比矩阵 Jacobi Matrix干的事情，它描述了一个变换局部 Locally Linear的变换特征。

仔细思考一下它为什么能表示一个局部的线性变换——一个矩阵所代表的变换的列向量，代表了其变换到的空间的基底，以第一列为例，它描述了在 $x,y,…$ 对变换后 $u$ 轴的贡献量，而偏导恰恰就可以求出这个贡献量。此后每一个列向量都是如此。

相应的，我们在行列式的几何意义中提到了行列式的几何意义，自然而然的，雅可比行列式的几何意义就是变换在某个局部分面积缩放系数。

雅可比行列式与多元微分

在进行多重积分的时候，我们首先要对变量进行多元微分。在坐标系的变换下，微元面积的大小可能改变，这就需要一个面积缩放系数。例如高数中提到的极坐标二重积分，其面积的缩放系数就是 $\rho$。

我们来实际计算一下，首先这个变换为 $x=\rho\cos\theta,y=\rho\sin\theta$，雅可比行列式写作

\[\left|\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\rho\sin\theta&\rho\cos\theta\end{matrix}\right|=\rho(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\rho\]

雅可比行列式与隐函数定理

在高数的隐函数求导中也出现了雅可比行列式。它的几何意义更为抽象一点，隐函数显化的过程实际上可以表示为坐标系变换的过程，这也就涉及了雅可比行列式。

至此，我们可以解释为什么隐函数公式需要除去一个 $J$，这就是因为在做坐标系变换的时候，单位面积也发生了变换，所以需要除去一个 $J$ 去做抵消。这点我们在克拉默法则的几何意义中其实也提到过，只是对于一个线性变换而言，它对每一个变量的偏导实际上就是它前面的系数，也就是系数矩阵。这实际上也给了我们对偏导更深刻的理解——偏导实际上就是在求这个变量的一次系数。