零空间 Null Spaces

[!definition] $null\ space$ 零空间 对于 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，$T$ 的零空间被记为 $null\ T$，它表示 $V$ 中所有被 $T$ 映射到 $W$ 后成为零向量的向量： \(ker\ T\ or\ null\ T=\{v\in V:Tv=0\}\)

换一种说法，零空间 null space也被称为核 kernel。上面这个说法或许拗口，我们从几何上来理解。

[!example] 几何理解 我们知道一个变换 $T$ 可以让一个空间 $V$ 降维，比如 $V$ 是三维空间，那么它就会被压缩成二维，甚至一维空间。下面我们以压缩到一维空间为例，这时空间塌缩 collapse成一个过 $0$ 点的线，那么容易想象，有一个二维平面上的所有点都塌缩到了 $0$ 点，也就是过 $0$ 点且垂直于这条线的平面。记这个塌缩变换为 $T$，则这个二维平面就是我们所说的 $null\ T$ 或者 $ker\ T$。

相应的，如果空间塌缩成二维，则是一个一维空间作为 $ker\ T$。 当然，这也意味着 $ker\ T$ 是 $V$ 的子空间

你会觉得 $T\vec{x}=0$ 非常眼熟，这其实就是我们解齐次线性方程组时候干的事情，之后在讲的时候我们会进一步解释零空间在这个语境下的意思。

单射/满射 injectivity/surjection

[!definition] $injective$ 单射 我们说 $T:V\to W$ 是单射当且仅当 \(Tu=Tv \Rightarrow u=v\) 另一种简单的说法是，每一个输入对应一个唯一的输出，而每一种输出都对应唯一的输入，用函数来说，就是不存在 $f(x_1)=y=f(x_2)$，所有数都是一一对应的。

我们用几何来理解，一旦 $ker\ T$ 有维度，那也就意味着有无数个向量 $v\in ker\ T$ 能够满足 $Tv=0$ ，这不满足单射的条件！ 这个结论的另一个形式是，如果一个映射算子 $T:V\to W$，其中 $dim\ V > dim\ W$，那么 $T$ 一定不是一个单射。

顺便的，我们来拓展一下满射 surjection和双射 bijection，这里我们就直接给出值域 range的定义了 \(range\ T=\{Tv:v\in V\}\) 同样的，很好理解，如果 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ ，那么 $range\ T$ 是 $W$ 的子空间

[!definition] $surjection$ 满射 如果 $T:V\to W$ 满足 \(range\ T=W\) 那么我们说 $T$ 是 $V$ 到 $W$ 的满射

[!definition] $bijection$ 双射 如果 $T:V\to W$ 同时满足 单射 和 满射 的条件，那么我们就称 $T$ 是一个 $V$ 到 $W$ 的双射。这种情况下 $V$ 和 $W$ 中的每一个元素都会有一个一一相互对应的关系。

和上面的结论相对应的，如果有一个映射算子 $T:V\to W$，其中 $dim\ V < dim\ W$，那么 $T$ 一定不是一个满射。

这个我讲一下我对维度的理解哦，我们对高维的理解有一个简单的方式，就是将三维空间的每一个点理解为一个实体，这个实体自身又拥有 $n$ 个属性，其中 $n=dim V-3$，也就是说，一个四维相当于在三维中的每一个点中，又存入了一条信息，这个信息表现为一个线，也就是又一个一维空间。显然，低维空间的一个点不可能线性的去对应一个高维的线上的每一个点，这是不对称的。

再进一步解释一下，一旦你要将低维映射到高维，那么多出来的维度就需要低维的量来决定，这就导致了肯定有无法表示的向量。

线性变换基本定理 Fundamental Theorem of Linear Maps

从名字你都可以看得出来这个定理有多重要。

[!definition] $fundamental\ theorem\ of\ linear\ transformation$ 线性变换基本定理 假设 $V$ 是一个有限维度的向量空间且 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，那么就会有 \(dim\ V=dim\ null\ T+dim\ range\ T\) 这个也被称为秩—零化度定理（Rank–Nullity Theorem）

这个结论有一个非常美妙的几何解释，这个我们会在后面专开一节讲解。我们先用代数的方法来证明。

[!quote] 线性变换基本定理的证明 我们先取 $null\ T$ 的一组基底 $u_1,\cdots,u_m$，由 [[Linear Algebra - 2.1 基底 Bases#基扩张定理|基扩张定理]] 可知，我们可以扩 $n$ 个与它们线性无关的向量 $v_1,\cdots,v_n\in V$ ，是的新的向量组成为 $V$ 的一个基 \(span(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n)=V\) 也就有 $dim\ V=n+m$，现在我们只需要证明 $dim\ range\ T=n$ 即可。 假设 $v\in V$ ，那么很容易得到 \(v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n\) 两边同乘 $T$，前面 $m$ 个因为零空间的定义，都成 $0$ 了，所以有 \(Tv=b_1Tv_1+\cdots+b_nTv_n\) 由定义，我们知道 $Tv$ 就是 $range\ T$，所以 \(Tv_1,\cdots,Tv_n\) 就是 $range\ T$ 的基底。也就是说 $dim\ range\ T=n$。

总结一下

我们来理一下现在提到的几个概念：

[!tip] $range\ T$ 它也称为 像空间（image） 或 列空间（当 $T$ 用矩阵表示时）。 它的维数称为 秩（rank）。我们一般用 $r$ 表示。在 $T$ 是矩阵的时候有 \(dim(range\ T)=rank(T)\) 在之后我们会了解到 $r$ 实际上有着更深刻的意思。

[!tip] $ker\ T=null\ T$ 零空间在线性方程组里实际上代表解空间，几何上是输入中“被压缩到零”的自由度，也就是信息损失掉的维度。