接下来我们讨论的实际上是同济大学教材的最后一章的内容，也就是 #6 线性空间与线性变换，这里对应的是基变换与坐标变换。

线性变换 Linear Transformation

线性变换 linear transformation和线性映射 linear map实际上是一个东西，我们这里还是用前者好了。

将一个向量空间映射为另一个向量空间，并且保持了原来向量空间的结构的函数称为是向量空间上的同台映射，或线性映射。在变换过程中，我们保持结构不变，也就是保持加法和数乘的方法不变。这也就说明先运算再变换等同于先变换再运算。

[!definition] $linear\ transformation$ 线性映射是一个从 $V$ 到 $W$ 的函数 $T:V\to W$ 加法性质： \(\forall u,v\in V,T(u+v)=Tu+Tv\) 同质性： \(\forall \lambda \in F,\forall v\in V,T(\lambda v)=\lambda(Tv)\) 从 $V$ 到 $W$ 的线性映射集记作 $\mathcal{L}(V,W)$，这也构成了一个向量空间，只不过里面存的全是函数算子。 特别的，我们规定 $\mathcal{L}(V,V)=\mathcal{L}(V)$

我们说了 $\mathcal{L}(V,W)$ 也是一个单位空间，那么肯定也就会有他的单位元算子 (identity operator)，这里我们将他记作 $E$，即单位矩阵，其实更多时候我们会记作 $I$ for $Identity$。但是同济教材上写的是 $E$ ，为应付考试，我们还是先用 $E$，来表示单位矩阵。它满足 \(Ev=v\) 更准确地，$E\in \mathcal{L}(V)$

  • 再举个例子，$0$ 也可以是一个映射算子，不过是将所有东西映射到 $0$ 维 \(0v=0\)

[[Linear Algebra - 1.EX 算子 operator|微分算子 differentiation]] 其实也属于是这一个空间，只不过是一个多项式到多项式空间的映射，即$D\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R))$，也就会有 \(Dp=p'\)

  • 回忆一下我们提到的结构一致，就可以很轻松的得到 \((f+g)'=f'+g'\ 和\ (\lambda f)'=\lambda f'\)

定积分算子则是一个多项式到数的映射 $\int\in\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathbb{R})$

我们再引入一个一个符号 $\circ$ ，它代表函数的复合 (function composition)，我们依旧把它看作一个算子，叫复合算子好了，它与一个函数 $g$ 绑定，满足 \((Tf)(x)=f(g(x))\) 当然，我们一般写成这样 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) 也就是将 $\circ$ 后的作为 $\circ$ 前的输入。

有趣的是，$cos$ 这种算子并不是一个线性映射，因为 $\cos2x\neq2\cos x$ 同样的，平方算子也不是一个线性映射，加法和乘法都不满足

[!tip] 验证是否为线性映射 一样，你只需要看看在映射前后满不满足数乘一致和加法一致就行了

[!quote] $linear\ map\ lemma$ 基变换 假如 $v_1,\cdots,v_n$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的基，$w_1,\cdots,w_n$ 是 $n$ 维空间 $W$ 的基，那么必定存在一个线性映射 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得 \(Tv_k=w_k\)

这种映射算子，对于向量来说，在我们日常做题中一般有两种形式：数乘和矩阵。

  • 前者在几何上表现为将向量延长 $\lambda$ 倍数。
  • 后者我们之后会提到，他有更深刻的几何解释。我们先把他理解为一种简单的空间变换操作，例如旋转，剪切，拉伸。

$\mathcal{L}(V,W)$ 中的代数运算

[!definition] $\mathcal{L}(V,W)$ 中的运算 对于 $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$，有 \((S+T)(v)=Sv+Tv\ and\ (\lambda T)(v)=\lambda(Tv)\) 另外，我们额外定义了线性映射的乘法法则。 对于 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 和 $T\in \mathcal{L}(U,V)$，有 \((ST)(v)=S(T(v))\) 你也可以理解为， \(ST=S\circ T\)

我们仍然拿数乘和矩阵来举例：

  • 数乘来看，延长 $\lambda_1$ 倍后再延长 $\lambda_2$ 倍，当然等同于延长 $\lambda_1\lambda_2$ 倍数。
  • 从矩阵变换来看，等式右边这相当于连续进行两次变换，左边则是将这两个变换先合二为一，再进行一次变换。当需要注意的是，需要保持乘法顺序。

[!quote] 代数性质 结合律：这要求 $T_1$ 映射到 $T_2$ 的空间，$T_2$ 映射到 $T_3$ 的空间 \((T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)\) 单位元：这里的 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，第一个 $E$ 是 $V$ 中的单位元而第二个是 $W$ 中的 \(TE=ET\) 分配律：当 $T_1,T_2\in\mathcal{L}(U,V)$ 和 $S_1,S_2\in\mathcal{L}(V,W)$ \((S_1+S_2)T=S_1T+S_2T\ and\ S(T_1+T_2)=S(T_1+ST_2)\)

在学矩阵乘法的时候，一个很强的疑问是为什么要分左乘和右乘，这里就给出了解答——映射关系不允许！对于一个向量，如果要从 $W$ 到 $U$，都需要经过一个中间 $V$ 的过程，如果换过来了，比如 本来应该是 $STv$ ，现在换为 $TSv$ ，那么就要先计算 $Sv$，可是 $S$ 的映射并不是从 $v$ 所在的空间开始的，这就不成立了！

[!quote] 线性映射将 $0$ 映射到 $0$，即恒有 $T(0)=0$

与线性方程组的种种

一般的，建立在 $F$ 上的向量空间 $V$ 的线性变换 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 有如下形式： \(T(x_1, \dots, x_n) = \left( \sum_{k=1}^n A_{1,k} x_k, \; \dots, \; \sum_{k=1}^n A_{m,k} x_k \right)\) 其中 $A_{(j,i)}$ 是由 $T$ 所对应的一个矩阵 $A$ 决定的。是的，这实际上就是 [[Linear Algebra - 5.1 齐次线性方程组 Linear equation|线性方程组]]。但是为什么要这样算呢？

我们在讲 [[Linear Algebra - 3.1 零空间、值域与变换基本定理#单射/满射 injectivity/surjection 单射和满射]] 的时候摸到了一点这个的皮毛，就是说你在做变换的时候，变换后的每一个值其实都是变换前值的 线性组合。仔细体会一下当时的原话

一旦你要将低维映射到高维，那么多出来的维度就需要低维的量来决定，这就导致了肯定有无法表示的向量。

这个决定的数学意思就是线性组合，实际上，不只是对多出来的向量，变换后的每一个都是变换前向量的每一个元素的线性组合的结果。

究竟什么是“线性”

其实很简单，线性的本质是 保持向量加法与数乘运算，几何上表现为 保持原点不动、直线仍为直线、网格均匀变形。

[!definition] 线性 $linear$ 一个映射（函数） $T:V→W$（其中 $V,W$ 是向量空间）称为线性的，当且仅当它同时满足：

  • 可加性： \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V\)
  • 齐次性： \(T(c\mathbf{v}) = c\)

上面两条可以合并为一条： \(T(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2) = c_1\)