上一节我们只讨论了行列式具体的计算，只提到了一嘴 $n$ 阶行列式表示 $n$ 个 $n$ 维向量所组成的 $n$ 维几何图形的体积 (面基)。但是并未解释这究竟是怎么来的。这一节我们将详细解释这个的由来。

坐标系内的面积

在计算一个几何图形的面基时，我们总能拆成 $n$ 个三角形。对于一个坐标系中的三角形，最好的办法就是用水平宽乘铅锤高来算它的面积，我们把其中一个顶点固定在 $(0,0)$ 处，另外俩个记为 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ ，就可以得到公式 $S=\frac{1}{2}|ad-bc|$，由这个三角形对称出来得到的平行四边形，面积就是

\[S=|ad-bc|=\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}\right|\]

我们可以用几何法来证这个结论，高维也是同理，这里不做赘述，详见 行列式的本质是什么？三行四列行列式有什么问题？【无痛线代】。

二重向量 / 有向面积 Bivector

高中时候我们有一个疑惑，就是在磁感应强度 $B$ 是矢量，面积 $S$ 是标量的情况下，为什么磁通量还是一个标量？

\[\Phi=B\cdot S\]

实际上，这里的 $S$ 取得是它的法向量，这个面积是有向的！所以两个矢量的点积才会是一个标量。

外积

类似的，我们规定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 构成一个平行四边形，那么就记

\[\vec{a}∧\vec{b}=\vec{c}\ \ or\ \ \vec{a}\times\vec{b}=\vec{c}\]

为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的外积 outer product，也就是叉乘 cross product，它得到一个新的向量 $\vec{c}$ 垂直于 $\vec{a},\vec{b}$ 张成的面，且其长度为它们张成的平行四边形的面积 $S$。

这也引出了一个计算规则

\[|\vec{c}|=|\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n},|=S\]

因为我们知道行列式就是来算面积的吗，这不就正好。

行列式三条公理及其几何意义

面积的平移不变性

面积的平移不变性

平行四边形底边固定，另外一边沿平行线滑动时，其面积不变

面积的这条性质可以表示为下面的公式 （以二维为例）

\[\det(\vec{u},\vec{v})=\det(\vec{u}+k\vec{v},\vec{v})\]

其中，前面就是我们 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 张成的平行四边形的面积，后面请你想象一下，我们固定 $\vec{v}$ 不动，对 $\vec{u}$ 在平行于 $\vec{v}$ 的方向上平移，不就是 $\vec{u}+k\vec{v}$ 吗？这也和行列式的性质相吻合。

面积的线性性

面积的平移不变性

若在平行四边形中间做一个平行于底面的线，那么可以从中间这个线分隔出两个平行四边形来进行上面的滑动操作

面积的这条性质可以表示为下面的公式 （以二维为例）

\[\det(\vec{u},\vec{v})=\det(\vec{u}_1+\vec{u}_2,\vec{v})=\det(\vec{u}_1,\vec{v})+\det(\vec{u}_2,\vec{v})\]

我们就假设在平行四边形的正中间切分好了，那么 $\vec{u}_1$ 和 $\vec{u}_2$ 就都是 $\frac{1}{2}\vec{u}$ 了，这个也很好理解，也就是 $S=S_1+S_2$。这也和行列式的性质吻合。

还记得我们上面提到的面积有向性吗？假如面积没有方向，算出来的都是正数，我们把 $\vec{u}$ 拆成两个很大的向量，岂不是得到的值就非常大了？这里，如果分解出的向量需要逆时针转才能到 $\vec{v}$ 的地方，那么这个向量所形成的面积就是正的，顺时针就是负的。

进一步的，我们可以加上数乘，总结出下面的式子：

\[\det(\vec{u}_1+k\vec{u}_2,\vec{v})=\det(\vec{u}_1,\vec{v})+k\det(\vec{u}_2,\vec{v})\]

单位面积

单位面积就是由 $\hat{i},\hat{j}$ 构成的 $1\times1$ 的矩形，定义面积为 $1$。有

\[\left|\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right|=1\]

和群论的那一堆公理一样，由上面三条公理，我们可以推出很多有用的推论了，例如

反对称性（二维）\(\det(\vec{u},\vec{v})=-\det(\vec{v},\vec{u})\)

  • 对应行列式的交换一行变符号的性质

对于三维来说，反对称性只需要任意交换两个轴就行了，也就是我们性质二所说的交换任意两行。 \(\det(\vec{u},\vec{u})=0\)

  • 对应行列式的两行相等即为0的性质

按行 / 列展开的原理

行列式的计算有一个非常有用的技巧，就是按行 / 列展开，具体的计算方式我们在 [[Det - 行列式的基础计算技巧]] 提及了，这里展示一下它的原理。

几何上来说，这个 展开 实际上是相当抽象的，不过有了上面的铺垫，代数上我们可以这样理解：

\[\left|\begin{matrix}a&c\\b&d\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a&c\\0&d\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}0&c\\b&d\end{matrix}\right|\]

通过面积线性性，我们可以拿第一列去消掉第二列

\[\left|\begin{matrix}a&c\\0&d\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}0&c\\b&d\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a&0\\0&d\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}0&c\\b&0\end{matrix}\right|\]

通过反对称性，我们调换后者的两列，得到

\[\left|\begin{matrix}a&0\\0&d\end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}0&c\\b&0\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a&0\\0&d\end{matrix}\right|-\left|\begin{matrix}c&0\\0&b\end{matrix}\right|\]

显然，后面两个的几何意义就是两个矩形的面积，也就是 $ad-bc$。更高阶也是同理，只不过展开一次不够，得多次展开。

逆序数与正负号

正负号的判断见上一节的逆序数。这里解释一下为什么逆序数能够成为正负号的判断标志。 注意到我们最后一步的时候对行列式进行反对称性的交换了吗？假设逆序数为 $n$ ，我们就需要进行 $n$ 次的反对称交换，符号也就变了 $n$ 次，写成公式，也就是 $(-1)^n$。