克拉默法则 Cramer’s Rule

克拉默法则 Cramer’s Rule 是用来解一个 $n$ 阶方程组的解的，我们先给出它的计算规则

[!tip] 对于一个线性方程组 $A\vec{x}=\vec{b}$ 我们记 $A_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列换为 $\vec{b}$ 的方阵，只要 $|A|\neq0$ ，则有： \(x_i=\frac{|A_i|}{|A|}\)

$ A \neq0$ 这一点很好理解，其实就是化为行阶梯型矩阵后每一行都有数，也就是满秩。我们在 [[Linear Algebra - 5.1 齐次线性方程组 Linear equation#齐次方程作为齐次方程组的一部分时的意义 5.1]] 里面有提过一旦系数矩阵满秩，那么这个非齐次方程组就一定有非零解。

克拉默法则的几何理解

我们从一个二阶线性方程组来看的来看，先给定一个变换矩阵 $A=\left(\begin{matrix}a & c\b & d\end{matrix}\right)$，和值域空间向量 $\vec{b}=\left(\begin{matrix}B_1\B_2\end{matrix}\right)$ 则有： \(x_1=\frac{\left|\begin{matrix}B_1 & c\\B_2&d\end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix}a & c\\b & d\end{matrix}\right|}\)和 \(\left[\begin{matrix}a & c\\b & d\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}B_1\\B_2\end{matrix}\right]\) 我们先来看上面分式的分子：它表示了 $\vec{b}$ 和 $(c,d)$ 所张成的平行四边形面积，现在这个 $x$ 几何上代表什么我们还不清楚，不妨先看下面的式子。

下面的式子实际上在说，$\left[\begin{matrix}x\y\end{matrix}\right]$ 经过 $A$ 变换后得到了 $\left[\begin{matrix}B_1\B_2\end{matrix}\right]$。我们不妨做一个逆运算，把 $\left[\begin{matrix}B_1\B_2\end{matrix}\right]$ 变换回 $\left[\begin{matrix}x\y\end{matrix}\right]$，那么 $\left[\begin{matrix}c\d\end{matrix}\right]$ 也就会被还原为 $\left[\begin{matrix}0\1\end{matrix}\right]$ 了。这个我们在 [[Linear Algebra - 3.2 矩阵 Matrics#矩阵来表示的线性变换 矩阵表示线性变换]] 中提到过，我们默认是用标准基进行变换的，所以这里变换回到了 $\left[\begin{matrix}0\1\end{matrix}\right]$ 标准基。
变换回去的行列式 $\left \begin{matrix}x & 0\y&1\end{matrix}\right $ 表示的平行四边形面积相当好算，实际上就是 $x$！所以这个 $x$ 几何上表示变换前的平行四边形的面积。理所当然，要求变换前的面积，我们只需要用变换后的面积除以面积的缩放倍数，而我们之前也在 [[Linear Algebra - 4 行列式 determinant#行列式 Determinant 4]] 里面也提到了，一个变换 $A$ 的行列式的值也就是面积的缩放倍数。这就是这个公式的几何意义。