一个空间 $V$ 虽然可以有不同基，但是每个基的长度都是一样的！我们便定义这个长度 $n$ 为这个空间的维度 dimension。

这也非常符合我们的直观直觉，毕竟我们也就在三维空间中，[[Linear Algebra - 2.1 基底 Bases 上节]] 我们说了，三维空间的标准基长度也正好是 $3$，所以我们所在的空间就是三维的！

[!definition] $dimension\ dim\ V$ 一个有限维度空间的维度等同于它的任意基的长度，表示方法为 \(dim(V)\) 非常简单的一个推论我也直接写这里了，就是对 $V$ 的任意子空间 $U$ 总有 \(dim\ U\leq dim\ V\) 同样的，$V$ 中每一个长度为 $dim\ V$ 的线性无关组都是 $V$ 的基底

我们在 [[Linear Algebra - 1.2 子空间 Subspace|子空间]] 里提到过子空间和的维度计算公式，这里再列一遍： \(\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)\)

其实这个概念和集合论有许多相似之处，我们来进行以下比较：

$sets$ $vector\ spaces$
$S$ 是一个有限集 $V$ 是一个有限空间
$S_1\cup S_2$ 是最小的包含 $S_1,S_2$ 的子集 $V_1+ V_2$ 是最小的包含 $V_1,V_2$ 的子空间
$#(S_1\cup S_2)=#S_1+#S_2-#(S_1\cap S_2)$ $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$
若$#(S_1\cup \cdots \cup S_m)=#S_1+\cdots+#S_m$，则表示这些集合是不相交 disjoint的集合 若$\dim(V_1+\cdots+V_m) = \dim V_1 +\cdots+ \dim V_2m$，则表示 $V_1+\cdots+V_m$ 是直加