上一节我们讨论了 线性无关 和 生成组。基底就是同时满足这两个条件的向量组。

[!definition] $basis$ $V$ 的基是指一个线性无关，且张成 $V$ 的向量组。

这和我们高中理解的基底几乎一模一样。对于一个空间直角坐标系，其标准基为 $(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$，也就是 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 。

[!quote] 基的特性 当且仅当 $V$ 中的每一个变量可以被某个线性无关组以唯一方式表示的时候，我们称这这个组为 $V$ 的基。

基扩张定理

有一个浅显的推论是，对于 $V$ 中的任意一个线性无关组 $S$，都可以通过加入 $m$ 个新向量，拓展为一个 $V$ 的基。和前面学到的 [[Linear Algebra - 1.2 子空间 Subspace#直和 $ oplus$|直和]] 结合，我们得到如下的推论。

[!quote] 每一个 $V$ 的子空间都可以是一个直和为 $V$ 的等式的一部分 假设 $U$ 是 $V$ 的子空间，那么一定存在一个子空间 $W$ 使得 \(V = U\oplus W\)