算子 Operator

[!definition] $Operator$ 算子 Operator 是一个 [[Linear Algebra - 1.1 向量空间 Vector Spaces|函数空间]] 到函数空间上的映射 $O：X→X$。算子可以推广到任何空间。 广义上来说，算子可以是对任何函数进行某项操作的算子，这里的任何函数或许和 [[Lambda - 0 概述|Lambda演算]] 很想。不过我们把他按照一些正常的数学概念理解就行了。

比如最常见的算子 $+,-,\times,\div$ 这些都是二元运算符，用计算机语言来理解，可以写为

add(1, 2) = 3
div(4, 2) = 2
或者一些一元运算符 $\sqrt{\ \ }$ $ \ \ $ ，用计算机语言来理解，可以写为 
sqrt(4) = 2
abs(-2) = 2
而对于函数 $f$ ，它们输入的就不是一个属于 $\mathbb{F}$ 的数了，而是一个集，这个和我们说的 [[Linear Algebra - 1.1 向量空间 Vector Spaces 函数空间]] 不谋而合。 
y = function(x)

我们输入一个 定义域 domain 内的数，他会返回一个 值域 range 内的数。 当然，这里的 $x$ 应当是一个数集。

微分算子 $\frac{d}{dx}$ 输入的则是一个函数 $f$，又返回一个函数 $g$。很多人，包括我，在刚学高数的时候，都会有疑问。就是为什么二阶导要写成 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 而不是 $\frac{d^2y}{d^2x}$，实际上，你把 $\frac{d}{dx}$ 理解为一个特殊的函数——算子之后就好理解很多。它实际上等价于 \(\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}\) 更好理解的，我们可以这样写 \(\displaylines{ D=\frac{d}{dx}\\ D(f)=\frac{d}{dx}(f)\\ D^2(f)=D(D(f))=\frac{d^2}{dx^2}=(\frac{d}{dx})^2 }\) 这样就好理解多了。