你会发现这节的标题和上节很像，但又不完全一样。诚然，向量空间 Vector Space 实际上是同济教材最后一个单元讲的，而且甚至是选修的部分。但是这里把它提到前面来讲，不仅是因为他能给我们更好的几何上的解释，而且它相较于枯燥的计算也更加有意思。

上一节我们讲了一个数域里面可以有许多关于加法和数乘美好的性质

  • 运算交换律、运算结合律、数乘结合律 ($abx=a(bx)$)
  • 每个加法都有一个逆元
  • 加法和乘法之间由分配律联系着…

向量空间 Vector Spaces

[!definition] $addition$ \(\forall u,v\in V,u+v\in V\)

[!definition] $Scaler\ Multiplication$ 见 [[Linear Algebra - 1 向量与空间#向量 vector|Scaler Multiplication]] \(\forall \lambda\in F,\forall v\in V,\lambda v\in V\)

那么我们不妨定义一个向量空间满足上面的这些性质

[!definition] $Vector\ Space$ 向量空间由一个向量集 $V$，标量域 $F$，加法，数乘组成，满足以下性质：

  • Axiom1: 交换律\(\forall \vec{u},\vec{v} \in V,\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)
  • Axiom2,3: 结合律\(\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V,\forall a,b\in F,(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\ and\ (ab)\vec{v}=a(b\vec{v})\)
  • Axiom4: 加法单位元\(\exists 0\in V,\forall \vec{v}\in V,\vec{v}+0=\vec{v}\)
  • Axiom5: 加法逆元\(\forall \vec{v}\in V,\exists \vec{w}\in V,\vec{v}+\vec{w}=0\)
  • Axiom6: 乘法单位元\(\forall \vec{v}\in V,1\vec{v}=\vec{v}\)
  • Axiom7,8: 左乘/右乘分配律，这里不写了

有了上面的八条公理后，对于任意一个满足上面公理的集合，都可以被称为一个向量空间了！其实，基本上只要定义了加法和数乘就行。

你可以把向量空间里的每一个元素想象为一个箭头或者点，但它们可能实际上并不代表这些东西！ 硬要说，向量空间本身也就是个集，只不过是加上了一些运算规则。

[!attention] 向量空间不是一个域 向量空间是一个基于另一个给定的域 (我们这里是 $F$) 的空间，回忆一下我们给到的 [[Linear Algebra - 1 向量与空间#域 Field|域的定义]] ，发现向量空间其实是没有定义向量间的乘法的，所以不能算作一个域。 准确来说，一个向量空间应该表示为 \((V,F,+,\cdot)\)

元组表示法 tuple notation

这里补充介绍一下一般数学结构的表示方法——元组表示法，具体怎么叫我不太清楚。 其形式为： \((承载合集,运算1,运算2,\cdots,特殊元素)\) 其中承载集合 (underlying set) 的定义为：

An underlying set refers to the foundational set of elements that form the basis of mathematical structures, such as a group, vector space, or topological space.

  • 向量空间就可以表示为 $(V,F,+,\cdot)$ 或者 $(V,+_V,\cdot_F)$
  • 在之前介绍 [[Lambda - 3 自然数定义#皮亚诺公理 Peano Axioms Peano Axioms]] 的时候也有提到一个自然数的定义 $(A,0,(.)*)$
  • 群的定义为 $(G,\cdot,e,^{-1})$ ，即集合，二元运算符，单位元，逆运算符 *** 所以我们一般不直接说 $V$，而是说 基于 $F$ 的 $V$ ( vector space over $F$ )
  • 例如 $R^n$ 就是一个基于 $R$ 的向量空间，虽然 $R^n$ 也有乘法规则吧，但是那只是锦上添花的事，它确实满足了一个向量空间的条件。$C^n$ 也是如此。
  • 最简单的一个向量空间为 ${0}$，即 $V={0}$，这样无论你怎么搞都是 ${0}$

函数空间 function space

函数空间其实有点涉及到泛函分析一块了，但是这里还是提一下。 我们说了，向量其实可以是很多东西，当然这也包括函数。正常的实数空间 $\mathbb{R}^n$ 其实就是选定 $n$ 个正交的基底所张成的空间，那么一个函数空间就是用一系列基函数张成的空间，这么一个空间就由 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 表示。就是我们接下来我们来定义一下 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 的啥。

[!definition] $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 函数空间 如果 $\mathcal{S}$ 是一个集合，那么 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 代表一个函数集合能够将 $\mathcal{S}$ 中的每一个值映射到 $\mathbb{F}$ 的某一个值上。即： \(\mathbb{F}^S = \{ f \mid f: S \to \mathbb{F} \}.\)

[!example] 假设 $\mathcal{S}$ 中的数为 ${s_1,\cdots,s_n}$ ，那么这个函数集合里的元素就可以是，比如说，$f$，它能做到 $f(s_1)=a_1, \cdots,f(s_n)=a_n$，其中 $a_1,\cdots,a_n\in F$；还可以是 $g$，使得 $g(s_1)=114514,\cdots,g(s_n)=1919810$ 。上面就是两个 $\mathcal{S}$ 到 $\mathbb{F}$ 的函数

由于上面提到的函数 $f$ 仅由 $n$ 个值决定，其他值可以完全抛弃不管，所以你完全可以把一个函数列为有序的实数对，例如 $g\leftrightarrow (114514,\cdots,1919810)$ 所以每一个函数就可以可以由 $(f(1),\cdots,f(n))$ 表示了，其中 $n$ 就是 $\mathcal{S}$ 的长度

但是你要知道，大部分情况下我们处理的是无限集，也就是类似于 $\mathbb{R}^\mathbb{R}$，这就是我们日常生活中最常用的平面直角坐标系了，我们接触到的大部分函数都是属于这个集的。 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，对于函数来说，就是输入一个实数，返回一个实数。当然，无限集和有限集的运算规则都还是一样的，唯一不同的不同就是项数。所以这里就不过多解释了。

我们再举一个例子，$\mathbb{R}^{[0,1]}$，这时候像 $f(x)=x，f(x) = \sin(2\pi x)$ 之类的都可以是里面的函数，只不过 $x$ 的取值范围被限定要属于 $\mathcal{S}$，也就是这里的 $[0,1]$。

简单来说，$S$ 相当于定义域 domain而 $F$ 相当于值域空间 codomain

[!example] 接上面的提示 这也就是说，对于一个有限集 $\mathcal{S}$ 来说，$R^\mathcal{S}$ 与 $R^n$ 同构。因为前后两者对于自己的 $n$ 个向量都可以随意取值。当然，这有更深刻的意义。 可以将 $R^n$ 看作 $R^{{1,\cdots,n}}$ ，这样它里面的函数就表示为 $(f(1),\cdots,f(n))$ ，相当于 $R^n$ 中的每一个点。

[!definition] $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 函数空间的性质 对于加法有：\(\forall f,g\in\mathbb{F}^\mathcal{S},(f+g)(x)=f(x)+g(x)\) 对于数乘有：\(\forall\lambda\in F,\forall f\in \mathbb{F}^\mathcal{S},(\lambda f)(x)=\lambda f(x)\) 定义一个单位元：函数 $0$，即输入一个 $x$，总是返回一个 $0$，且一个向量空间只有一个单位元 \(0(x)=0\) 定义一个逆元：一个向量空间每一个元素有且只有一个逆元 \(\forall f\in \mathbb{F}^\mathcal{S},(-f)(x)=-f(x)\)

这可以解释一个我们在学线代的时候的一个有趣现象，例如对任意矩阵 $A$ 有： \(A\cdot0=O\) 这就说明一个向量数乘完之后应当还是一个向量