下面我们讨论的实际上是同济大学教材的最后一章的内容，也就是 #6 线性空间与线性变换，这里对应的是线性空间的定义与性质。

实空间与复空间 $R,C$

我们可以先把向量理解为一个复平面上的向量。这里我们引入 $R^n$ 和 $C^n$，其中 $R$ 就是我们熟知的实数数域，$C$ 则是复数数域，前者定义需要用到 [[Lambda - 3 自然数定义#皮亚诺公理 Peano Axioms|Peano Axioms]] 我们这里不做赘述，后者则是在前者的基础上定义的：

[!definition] 复数 $C$ \(C=\left\{a+bi : a,b\in R\right\}\)

如果 $b$ 恒为 $0$，则显然此时的子集和 $R$ 一致，所以我们认为 $R$ 是 $C$ 的子集。方便起见，我们给 $R$ 和 $C$ 这两个集一个统一的名字 $F$ for $Fields$ ，即域。下面的 $F$ 就可以被视为 $R$ 或者 $C$ 中的任意一个。

[!attention] 复数也是一维的！ 一个很常见的误区是认为复数是一个二维的数，但其实复数所处的空间是一维的，复平面只是为了方便我们理解才造出来的一个升维后的空间。这也才会有实空间 $R$ 和复空间 $C$。

高维空间 $F^n$

我们所熟知的二维和三维空间可以简单的表示为 $R^2$ 和 $R^3$，定义为： \(R^3=\{(x,y,z):x,y,z\in R\}\) 为了推广到高维空间，我们首先定义什么是 $列 / 组$

[!Definition] $list$

  • 假设 $n$ 是一个有限的非负整数，一个 $list$ 就是 $n$ 个有序排列的元素所组成的合集
  • 当且仅当两个 $list$ 有相同长度，相同元素以相同顺序排列时，两个 $list$ 相等

当然，我们更多情况下叫它 $组$，即 $n-tuple$。同时，和python一样，我们允许空列的存在，这样可以预防一些例外的存在。

[!attention] 区别 $集 set$ 和 $组 list$ 和python里的概念一样，$list$ 是需要特定顺序的，而 $set$ 则是无序的

接下来，让我们将 $n$ 固定下来，下面我们都将把 $n$ 视作一个固定的有限正整数。

[!definition] $F^n$ $F^n$ 是所有元素为 $F$ 中元素的 $n$ 元组 \(F^n=\{(x_1,\cdots,x_n):x_k\in F\ for\ k=1,\cdots,n\}\)

这样的话，$C^4$ 就可以理解为 ${(z_1.z_2,z_3,z_4):z_1,z_2,z_3,z_4\in C}$ 当然，四维以上的空间我们就不能做可视化操作了，毕竟低维永远无法真正理解高维。

$F^n$ 中的加法法则需要对位相加减，即$(x_1,\cdots,x_n)+(y_1,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)$ 下面为了避免重复写这些括号，我们直接用 $x$ 和 $y$ 代替一个 $n$ 元组。$0$ 为 $(0,\cdots,0)$。

向量 vector

和我们的理解一样，一个 $n$ 维向量需要一个 $n$ 元组来表示。线性代数之所以为代数，就是因为我们所能理解的空间只能是 $R^3$，更高维度的虽然无法被几何上表示，但是代数规则依然是可行的。

值得一提的是，向量不一定需要被表示为一个可以随意移动的箭头，我们这么做只是为了方便理解。向量实际上可以是任何东西，只要它身上的某些数字可以满足属于 $F^n$，且符合向量空间的运算规则。这也就是为啥我们学高数的时候也会需要用到线性无关之类的概念，因为函数空间也是一个线性的空间。

很多概念其实在高中我们都理解，甚至刻入DNA了，这里就不做过多赘述。接下来我们讲一下数乘Scaler Multiplication

[!definition] $Scaler\ Multiplication$

  • 对于一个Scaler $\lambda$ 来说，它与一个向量的乘法表示为：\(\lambda(x_1,...x_n)=(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)\)这里之所以不对Scaler进行翻译，是因为我认为它在英文里有更好的双关意，一方面是它的代数意义，也就是数。另一方面则是几何上的，它等同于将一个向量伸缩 $\lambda$ 倍
这个其实我们在讲 [[四元数 - 1 单位球体降维和旋转的表示#四维旋转的理解 四元数]] 的时候有提到过这个概念

域 Field

域其实是一个抽象代数领域的名词，但是我觉得还是相当有必要了解的。这里就提一点基础的。 域可以有很多，可以是二进制域、p进数、四元数，但它们都具有一些共同点

  • 都包含至少两个被称为 $0$ 和 $1$ 的数，以满足公理体系 ($F_2={0,1}$就是最小的域，其中 $1+1=0$)
  • 定义了加法 $+$ 和 $\cdot$ 运算
  • 满足常见的运算性质，如结合律 Associative Property、交换律 Communtative Property、分配律 Distributive Property、逆元运算等

依旧需要注意，上面和下面提到的 $0$ 和 $1$ 都不是 $R$ 意义上的 $0$ 和 $1$ ，而是一种代数指代。下面的 $*$ 也是一种运算上的指代。 下面列一下它们满足的公理

  • 运算封闭性 Closure (群论1) \(\forall a,b\in F,a * b\in F\)
  • 运算结合律 Associativity (群论2)\(\forall a,b,c\in F,(a * b)* c=a * (b * c)\)
  • 单位元 / 中性元存在 Neutral (群论3)：
    • 单位元又称零元或幺元。在一个集合中，对于某种运算 $*$，如果对于任何的集合元素 $a$，和元素 $e$ 运算，得到还是集合元素 $a$ 本身，则称 $e$ 为这个运算下的单位元。
    • 加法：\(\exists0\in F,\forall a\in F,a+0=a\)
    • 乘法：\(\exists1\in F,\forall a\in F,a\cdot1=a\)
  • 逆元存在 Reverse (群论4)：
    • 在一个集合中，对于某种运算 $*$，如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。
    • 加法：\(\forall a\in F,a\neq0,\exists(-a)\in F,a+(-a)=0\)
    • 乘法：\(\forall a\in F,a\neq0,\exists a^{-1}\in F,a\cdot a^{-1}=1\)
  • 运算交换律 (阿贝尔群满足的条件) \(\forall a,b\in F,a*b=b*a\)
  • 分配律 \(\forall a,b,c\in F,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)在交换乘法下，右分配律自动成立