群论概述

群论 group theory1也是一个相当晦涩难懂的概念。但是你要知道的是，一个坐标系的旋转操作其实就构成了一个群 group

一个群$(G,*)$由两个部分组成：

  • 一个集合$G$，其元素可以是数、矩阵、函数、对称操作
  • 一个二元运算$$，该运算将任意两个元素$a,b\in{G}$通过运算或其他操作组合成$ab\in{G}$，也就是说，这是一个封闭的空间

空间球体降维

作为一个三维生物，我们不太能理解高维的世界是怎么样的，但是实际上可以将高维的几何体通过某种方式映射到低维，虽然这个几何体在高维可能并没有体积，也就是说，它在高维只是个薄片。但是我们仍然可以通过这个方法来一窥高维的几何世界。

二维单位圆映射到一维

我们这里所说的是一个单位圆，也就是说，它实际上没有面积，不用考虑高斯绝妙定理之类的事情，这是非刚性的变化。你要做的就是把一个圆环展开一个一维数轴上。

不妨将单位圆的圆心$O$与数轴原点重合，记远点为$P$，连接$P$于圆上的每一个点，交直线于点$A_n$，这样就可以把圆上的每一个点映射到数轴上了，不过疏密程度会不同。 按照这个方法，很容易得知上半圆落在$[-1,1]$的区间里，下半圆落在$[-\infty,-1][1,\infty]$区间里，$P$点在数轴上对应的位置就是$\infty$

(忘了提了，现在我们把复平面的x和y轴换了一下，横着的是虚数轴了，铅锤的为实数轴) 现在，数轴上$0$的位置就对应实数单位$1$，$-1$对应$-i$，$1$对应$i$，而$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$落在$[0,1]$之间，而$-1$则在$\infty$的位置上 再次提醒，此时数轴所能表示的只是二维复平面中一个单位圆上的点，其他点是看不到的

[!attention] 为什么不直接线性的映射到$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$区间上 这是为了保证运算的统一性。我们主要是研究空间的旋转和拉伸的运算，当然，这里我们只研究旋转，为了让二维的旋转操作能够在一维上有所体现，我们需要一个连续且封闭的”空间”，即加减法和数乘所得到的值仍然属于这个”空间” 假如线性映射，按照二维复平面的旋转规则，我们对其中任意一个数进行旋转操作，即右乘一个”旋转函数”$z$，数轴理应得到一个和原来差不多样子的映射，但是这种线性映射就无法达到这种效果。 相反，如果是上面这种映射方法，在乘以一个$z$，比方说$i$之后，原来的$i$会到$-1$的位置去，原来的$-1$从$\infty$来到了数轴的$-1$上，也就是代表$-i$的点

三维单位球映射到二维

继续将铅锤的作为实数轴 现在有三个轴了，也就是$a+bi+cj$，但是三维数其实没有良好的乘法规则，即$ij\neq{ji}$，但是你又不知道他们等于什么。当然，这确实是导致它无法定义旋转的原因之一，因为乘法太难算了。这里我们只是拿三元数来类比。

同样的，我们这里所说的是一个没有体积的单位球 不妨将单位球的球心$O$与平面坐标系的原点重合，记远点为$P$，连接$P$于球上的每一个点，交平面于点$A_n$。按照这个方法，很容易得知上半球落在$[(x,y)||x|\leq1,|y|\leq1]$的区间里，下半球落在其他延伸到无穷的区间内。

四维单位球映射到三维

我们给到了这么一个四维向量$w+xi+yj+zk$，具体理解可以去看3b1b的视频，这里只讲我的理解。 继续将铅锤的作为实数轴，那么剩下三个轴$i,j,k$则会以某种四维的方式在一个三维空间中互相垂直。我们把上半超球记为$w>0$的部分，那么显然，按照规律，它会被映射到三维的一个单位球内，$w=0$的部分则正好是三维的一个单位球，$w<0$的部分则从球开始延伸到无穷外。

更方便的来理解，$i,j,k$实际上表示为了三维中的方向，而$w$则反应为”长度”

[!danger] 注意！此长度非彼长度！此方向非彼方向！ 我们说了现在三维应该被一个四维单位超球映射，所以四个数恒满足\(w^2+x^2+y^2+z^2=1\) 也就是说，$w\in(-1,1)$，我们说的$w$的$(0,1)$被映射在了三维的单位球内部，$(-1,0)$则从球面开始映射到无穷 相应的，$i,j,k$表示方向的方法是通过$x^2+y^2+z^2=1-w^2$来设置权重的，也就是说，$i,j,k$表示方向的方法是通过相互之间的比值，而不是绝对长度，不然你没法保证上面的的等式成立

高维复空间旋转

对于一个复数$z=a+bi$和一个单位复数$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ $z\cdot e^{i\theta}$代表将$z$绕原点逆时针旋转$90\degree$，它通过一个二维数优雅的封装了二维旋转 或者，你可以将$z$看作一个旋转函数，他做的实际上是将原本的单位向量$+i$拉伸到$z$的位置，也就等同于旋转和拉伸的操作了 我们不妨这样来理解\(z_1\cdot z_2=\left(\frac{z_1}{||z_1||}\right)||z_1||\cdot z_2\) 前面的$\left(\frac{z_1}{||z_1||}\right)$代表旋转操作，$||z_1||$代表拉伸操作 稍加思考，你就知道了一个单位向量 unit vector作为操作时就代表纯旋转了

很自然的，我们能够想到，如果将空间拓展到三维，那么该如何表示封装旋转呢？ 哈密顿提出需要四个数才能实现信息不丢失的旋转运算，即$w+xi+yj+zk$，他们同时满足 \(\displaylines { i^2=j^2=k^2=ijk=-1\\ ij=k,ji=-k\\jk=i,kj=-1\\ ki=j,ik=-j }\) 我只能说这真的非常丑，这也是使得它的乘法变得非常繁琐，这里就不列公式了

[!attention] 关于为什么二维空间封装只需要两个数，而三维需要四个 二维空间的旋转操作构成$U(1)$群，所以它只需要二维数就可以封装旋转了，复杂度不高 但是三维空间的旋转操作构成$SO(3)$群，因为虽然只加了一个轴，但是实际上多了两个面，即$C\left(\displaylines{3\2}\right)=3$，所以复杂度并不是线性增加的

和二维复平面类似类似四维也可以用类似的公式来表示四维的旋转和拉伸操作 \(q_1\cdot q_2=\left(\frac{q_1}{||q_1||}\right)||q_1||\cdot q_2\) 这里我们也只讨论单位四元数$q_1$作为纯旋转操作的情况 当然，这时候就不满足交换律了，左乘和右乘需要区分，这就好像魔方一样，旋转的顺序不同，结果也是不同的。

四维旋转的理解

你可以将一个四维旋转理解为两个独立的二维旋转，而这两个二维旋转面相互垂直。 我们不妨设这两个旋转面分别以$w,i$和$j,k$为轴，而注意，我们现在能看到的是$i,j,k$轴，$w$轴是垂直于这三个轴的第四维，我们是看不见的。

  • $j,k$的圆很好表示，你只需要在$jOk$平面上画一个单位圆就行了。
  • $w,i$平面中的$w$是无法在三维空间中显示的，所以这么一个单位圆就可以像之前二维变一维的一样映射到$i$轴上
  • 这时，$j,k$轴上圆的旋转会同时带动映射到$i$轴上的圆的旋转

当然，这里只是给了两个参考圆在分别在$j,k$和$w,i$上，实际上哪哪都是圆。 这时候四维的旋转就其作用了，还记得我们上面定义的三个虚数的乘法规则吗，那实际上就代表了一个旋转操作和一个点的移动过程。 就像我们在一维里描述的一样，被映射到指定轴上的圆发生旋转，表示在三维中就是这个轴上的映射发生移动。而垂直于这个”圆”的圆在三维看来是在一个二维平面中正常旋转的，则遵循右手螺旋定则的，按照手指的方向旋转。

[!attention] 右手螺旋定则 你的大拇指指向操作单位向量的方向，也就是其中一个圆映射到的轴的方向 手指卷起来，手指的方向就是与被映射的圆垂直的圆的旋转方向

另外，事实上，你可以把所有东西都考虑成一个函数，比如$×0.5$代表放缩$0.5$倍，$×-1$代表旋转$180\degree$

[[2025-12-20-四元数 - 作用于三维空间]]

  1. 之后有机会单独开一个文章讲群论 ↩