目前为止，我们还不知道四元数怎么描述三维旋转，我们只是知道了怎么在三维空间里表示四元数的单位超球。接下来，我们只关注$w=0$的单位四元数，这在上一节我们说了，在三维上也映射为一个单位圆。

还记得一开始我们说四元数的功能吗？它可以表示一种状态，但更多时候表示一种旋转操作。也就是说，设三维向量为$p$，表示旋转操作的四元数为$q$，则有$q\cdot p$来表示对三维向量的旋转操作。

但是，一个四维的怎么能降维对三维向量进行旋转呢？

四元数单位化简写

我们表示一个三维旋转需要一个旋转轴加旋转角度，这恰好符合四元数对四个参数的需求 已知：

  • 旋转角度：$θ$
  • 旋转轴（单位向量）：$\vec{u}=(u_x,u_y,u_z)$，满足 $   u   =1$
  • 四元数通常写成：$q=w+xi+yj+zk$，其中 $w$ 是实部，$(x,y,z)$ 是虚部向量

则有： \(q\left(\frac{\theta}{2}, \vec{u}\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)(u_x i + u_y j + u_z k)\) 也就是： \(q = \cos\frac{\theta}{2} + \left(\sin\frac{\theta}{2}\cdot u_x\right)i + \left(\sin\frac{\theta}{2}\cdot u_y\right)j + \left(\sin\frac{\theta}{2}\cdot u_z\right)k\)

类比一下二维旋转$e^{i\theta}=\cos{\theta}+\sin{\theta}i$,会发现单位四元数的简化表示其实把$i$换成了$i\ j\ k$ 我们先不考虑为什么这里是$\frac{\theta}{2}$，下面会解释的

四元数的旋转

四元数旋转三维向量时会先将三维向量$p=\left(\displaylines{x\y\z}\right)$升维成$p=\left(\displaylines{0\x\y\z}\right)$

[!attention] 为啥要升维 我们之前替代了三元数乘法不存在良定义，除非你引进第三个量$k$，也就是升为到四维，这样乘法就可以算了，而这个乘法也就包括了数乘，点乘和叉乘

之后，我们进行四元数的乘法运算$q\cdot p$，得到一个新的四元数$p=q(\frac{\theta}{2},\vec{u})pq^{-1}(\frac{\theta}{2},\vec{u})=(0,x,y,z)$ ok这式子非常奇怪，一个好端端的$q\cdot p$哪来这么多东西？ 正常来说，$q\cdot p$就够了，但是你知道这一个操作会把好好的一个三维向量拉进四维，但是你还是需要一个三维向量啊！浅显来说，我们还需要一个逆操作，就是在后面再乘一个$q^{-1}$来抵消前面的操作。

当然，这样做还有一个好处，就是抵消了位移和形变，使得其就是一个单纯的纯旋转操作。至于为什么，我们需要先知道点乘和叉乘。

点乘和叉乘

其实相当好理解，这在我们高中学物理单位制的时候就出现了很多，因为你会发现有一些有时候两个向量出来之后还是一个向量，这和点乘的性质不符。当然，你得明确这个乘法是针对于两个向量来说的，下面我们令其为$\vec{A},\vec{B}$

点乘(内积) 得到一个 标量（一个数字），告诉你两个向量在同一方向上有多少“重叠”。 这个的公式我们高中就学过了，这里不做赘述

叉乘(外积、向量积) 得到一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，其大小与它们形成的平行四边形的面积有关。

  • $∣A×B∣=∣A∣∣B∣sinθ$
  • $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \a_x & a_y & a_z \b_x & b_y & b_z\end{vmatrix}$ 这里的$\hat{i}\hat{j}\hat{k}$是三维笛卡尔坐标系中的单位基向量。分别为$(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$
  • 反交换律：$\vec{A}×\vec{B}=−\vec{B}×\vec{A}$（顺序很重要！）。
  • 当两个向量平行（同向或反向）时（$θ=0°$或$180°$），叉乘结果为 零向量。
  • 当两个向量垂直时（$θ=90°$），叉乘结果的模最大。

四元数包含实数和虚数部分，实数与实数运算是点乘，虚数是矢量计算叉积，利用叉积就能表示方向的变化，从而四元数的乘法可以表示为\(q_1q_2=(w_1w_2,叉乘部分)\) 因此对原向量$\vec{v}$做四元数乘积，除了叉积完成了旋转的变化，还有点积产生了不应该的拉伸分量。 因此使用双乘法，$q\vec{p}q^{-1}$，通过乘以q逆反向抵消拉伸分量。

同时，因为乘了两遍$q$，所以要把其转的角度表示为$\frac{\theta}{2}$