我们也说了 $T$ 所属的也是一个向量空间，他也满足加法和数乘。这里我们可以讨论一下这两个操作的几何意义。
一个矩阵可以表示的变换有以下几种：
- 旋转 rotation \(R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \ \ \cos\theta \end{pmatrix}\)
- 拉伸 stretch\(S = \begin{pmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{pmatrix}\)
- 剪切 shear \(H_x(k) = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
我们首先假设变换前的 $V$ 的基为我们熟知的 $x$ 和 $y$ 轴。理解了矩阵列向量的意思后，我们就可以解读每一种操作了：
加法操作实际上相当于将两种变换做叠加，但是要注意的是这个相乘不一样，之后我们会进一步解释。而数乘相当于拉伸，这个我们进一步解析一下：
[!tip] 在我们之后了解到矩阵的零元为 $E$ 或 $I$ 之后，我们可以将 $\lambda A$ 写为： \(\lambda A=\lambda I A\) 也就是先做 $\lambda$ 倍的拉伸变换，再进行 $A$ 变换。
行列式的加法要求除某一行外其他行都相等。但矩阵的加法非常直观，就是对应位相加。这里不做赘述 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}\)
行列式的数乘会在某一行统一乘一个数。而矩阵的数乘是为所有数字都乘，这就是为什么 $|kA|=k^n|A|$ \(3 \times \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 15 \end{bmatrix}\)
我们先来定义一个符号
[!definition] $F^{m,n}$ $F^{m,n}$ 表示所有元素属于 $F$ 的 $m\times n$ 的矩阵，则有 \(dim\ F^{m,n}=mn\) 要验证这个结论，我们直接规定它的标准基，其中每一个基是 $m\times n$ 个位置中只有一个位置是 $1$ ，其余都是 $0$ 的矩阵，显然这有 $mn$ 个。
现在给定几个空间 $U,V,W$ 和两个变换 $S:V\to W$ 和 $T:U\to V$，$ST$ 也就代表一个 $U\to W$ 的变换。现在我们希望矩阵的乘法能满足 $\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$，这就需要我们去定义一个矩阵乘法的规则去满足这个性质。
[!quote] 推理 假设 $\mathcal{M}(S)=A,\mathcal{M}(T)=B$，那么对于 $1\leq k\leq p$ 我们有： \((ST)u_k=S(\sum^n_{r=1}B_{r,k}v_r)\) 这相当于先计算了 $Tu_k$，同时由于向量空间满足分配律，所以可以把 $S$ 乘进去 \(=\sum^n_{r=1}B_{r,k}Sv_r\) 再次计算，就有 \(=\sum_{j=1}^m \left( \sum_{r=1}^n A_{j,r} B_{r,k} \right) w_j\) 注意到这实际上是 $\mathcal{M}(ST)$ 的矩阵计算形式，他要求里面的 $j$ 行 $k$ 列为： \((ST)_{j,k}=\sum^n_{r=1}A_{j,r}B_{r,,k}\) 我们就这样定义了矩阵的乘法
下面我们就不再次定义了，我们来一些浅显的理解。
观察上面的乘法式子，你会发现他和我们高中学到的 点乘 形式非常像。实际上，你要取的是第一个矩阵的第 i 行去点乘第二个矩阵的第 j 列。这就要求第一个矩阵的行和第二个矩阵的列数值上一样，体现在映射上，这个数值实际上是过渡空间 $V$ 的维度 $dim\ V$。这个方式运算方式我们可以这样表示： \((AB)_{j,k}=A_{j,·}·B_{·,k}\) 这里的 $A_{j,·}$ 表示第 $j$ 行的行向量，$A_{·,k}$ 表示第 $k$ 列的列向量
这里我们就不去深究它数值上的的几何意义了，但是我们还是要把矩阵乘法和加法所带来的几何上的变化的不同区分一下。
回想我们之前对 [[Linear Algebra - 3.2 矩阵 Matrics#对线性方程组的几何意义的补充|线性方程组几何意义的补充]] 中对未知数矩阵意义的理解，我们不难发现，如果有一个 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$\vec{b}$ 是一个 $n$ 维列向量，则有 \(A\vec{b}=b_1A_{·,1}+\cdots+b_nA_{·,n}\)
[!example] \(\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\19 \\31\end{pmatrix}= 5\begin{pmatrix}1 \\3 \\5\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}2 \\4 \\6\end{pmatrix}\) 这个就是我们上面说的几何意义。
我们知道矩阵可以分为列向量和行向量，但实际上这和矩阵乘法有这不可分割的关系。
[!tip] 假设 $C$ 是 $m\times c$ 的矩阵，$R$ 是 $c\times n$ 的矩阵
- $CR$ 的列向量 $\vec{a}_k$ 是 $C$ 中列向量的线性组合，而每一个向量的系数是 $R$ 中的第 $k$ 列。
- $CR$ 的行向量 $\vec{a}_j$ 是 $R$ 中行向量的线性组合，而每一个向量的系数是 $C$ 中的第 $j$ 行。
具体验证可以看上面给的 Example
到了这一点，我们就可以谈论他们在线性方程组背景下具体的几何意义了
线性变换 linear transformation和线性映射 linear map实际上是一个东西，我们这里还是用前者好了。
将一个向量空间映射为另一个向量空间，并且保持了原来向量空间的结构的函数称为是向量空间上的同台映射，或线性映射。在变换过程中，我们保持结构不变，也就是保持加法和数乘的方法不变。这也就说明先运算再变换等同于先变换再运算。
[!definition] $linear\ transformation$ 线性映射是一个从 $V$ 到 $W$ 的函数 $T:V\to W$ 加法性质： \(\forall u,v\in V,T(u+v)=Tu+Tv\) 同质性： \(\forall \lambda \in F,\forall v\in V,T(\lambda v)=\lambda(Tv)\) 从 $V$ 到 $W$ 的线性映射集记作 $\mathcal{L}(V,W)$，这也构成了一个向量空间，只不过里面存的全是函数算子。 特别的，我们规定 $\mathcal{L}(V,V)=\mathcal{L}(V)$
我们说了 $\mathcal{L}(V,W)$ 也是一个单位空间，那么肯定也就会有他的单位元算子 (identity operator)，这里我们将他记作 $E$，即单位矩阵，其实更多时候我们会记作 $I$ for $Identity$。但是同济教材上写的是 $E$ ，为应付考试，我们还是先用 $E$，来表示单位矩阵。它满足 \(Ev=v\) 更准确地，$E\in \mathcal{L}(V)$
[[Linear Algebra - 1.EX 算子 operator|微分算子 differentiation]] 其实也属于是这一个空间，只不过是一个多项式到多项式空间的映射，即$D\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R))$，也就会有 \(Dp=p'\)
定积分算子则是一个多项式到数的映射 $\int\in\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathbb{R})$
我们再引入一个一个符号 $\circ$ ，它代表函数的复合 (function composition)，我们依旧把它看作一个算子，叫复合算子好了，它与一个函数 $g$ 绑定，满足 \((Tf)(x)=f(g(x))\) 当然，我们一般写成这样 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) 也就是将 $\circ$ 后的作为 $\circ$ 前的输入。
有趣的是，$cos$ 这种算子并不是一个线性映射，因为 $\cos2x\neq2\cos x$ 同样的，平方算子也不是一个线性映射，加法和乘法都不满足
[!tip] 验证是否为线性映射 一样，你只需要看看在映射前后满不满足数乘一致和加法一致就行了
[!quote] $linear\ map\ lemma$ 基变换 假如 $v_1,\cdots,v_n$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的基，$w_1,\cdots,w_n$ 是 $n$ 维空间 $W$ 的基，那么必定存在一个线性映射 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得 \(Tv_k=w_k\)
这种映射算子，对于向量来说，在我们日常做题中一般有两种形式：数乘和矩阵。
[!definition] $\mathcal{L}(V,W)$ 中的运算 对于 $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$，有 \((S+T)(v)=Sv+Tv\ and\ (\lambda T)(v)=\lambda(Tv)\) 另外，我们额外定义了线性映射的乘法法则。 对于 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 和 $T\in \mathcal{L}(U,V)$，有 \((ST)(v)=S(T(v))\) 你也可以理解为， \(ST=S\circ T\)
我们仍然拿数乘和矩阵来举例：
[!quote] 代数性质 结合律：这要求 $T_1$ 映射到 $T_2$ 的空间，$T_2$ 映射到 $T_3$ 的空间 \((T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)\) 单位元：这里的 $T\in \mathcal{L}(V,W)$，第一个 $E$ 是 $V$ 中的单位元而第二个是 $W$ 中的 \(TE=ET\) 分配律：当 $T_1,T_2\in\mathcal{L}(U,V)$ 和 $S_1,S_2\in\mathcal{L}(V,W)$ \((S_1+S_2)T=S_1T+S_2T\ and\ S(T_1+T_2)=S(T_1+ST_2)\)
在学矩阵乘法的时候，一个很强的疑问是为什么要分左乘和右乘，这里就给出了解答——映射关系不允许！对于一个向量，如果要从 $W$ 到 $U$，都需要经过一个中间 $V$ 的过程，如果换过来了，比如 本来应该是 $STv$ ，现在换为 $TSv$ ，那么就要先计算 $Sv$，可是 $S$ 的映射并不是从 $v$ 所在的空间开始的，这就不成立了！
[!quote] 线性映射将 $0$ 映射到 $0$，即恒有 $T(0)=0$
一般的，建立在 $F$ 上的向量空间 $V$ 的线性变换 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 有如下形式： \(T(x_1, \dots, x_n) = \left( \sum_{k=1}^n A_{1,k} x_k, \; \dots, \; \sum_{k=1}^n A_{m,k} x_k \right)\) 其中 $A_{(j,i)}$ 是由 $T$ 所对应的一个矩阵 $A$ 决定的。是的，这实际上就是 [[Linear Algebra - 5.1 齐次线性方程组 Linear equation|线性方程组]]。但是为什么要这样算呢？
| 我们在讲 [[Linear Algebra - 3.1 零空间、值域与变换基本定理#单射/满射 injectivity/surjection | 单射和满射]] 的时候摸到了一点这个的皮毛，就是说你在做变换的时候，变换后的每一个值其实都是变换前值的 线性组合。仔细体会一下当时的原话 |
一旦你要将低维映射到高维，那么多出来的维度就需要低维的量来决定，这就导致了肯定有无法表示的向量。
这个决定的数学意思就是线性组合，实际上，不只是对多出来的向量，变换后的每一个都是变换前向量的每一个元素的线性组合的结果。
其实很简单，线性的本质是 保持向量加法与数乘运算，几何上表现为 保持原点不动、直线仍为直线、网格均匀变形。
]]>[!definition] 线性 $linear$ 一个映射（函数） $T:V→W$（其中 $V,W$ 是向量空间）称为线性的，当且仅当它同时满足：
- 可加性： \(T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V\)
- 齐次性： \(T(c\mathbf{v}) = c\)
上面两条可以合并为一条： \(T(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2) = c_1\)
[!definition] $null\ space$ 零空间 对于 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，$T$ 的零空间被记为 $null\ T$，它表示 $V$ 中所有被 $T$ 映射到 $W$ 后成为零向量的向量： \(ker\ T\ or\ null\ T=\{v\in V:Tv=0\}\)
换一种说法，零空间 null space也被称为核 kernel。上面这个说法或许拗口，我们从几何上来理解。
[!example] 几何理解 我们知道一个变换 $T$ 可以让一个空间 $V$ 降维，比如 $V$ 是三维空间，那么它就会被压缩成二维，甚至一维空间。下面我们以压缩到一维空间为例，这时空间塌缩 collapse成一个过 $0$ 点的线，那么容易想象，有一个二维平面上的所有点都塌缩到了 $0$ 点，也就是过 $0$ 点且垂直于这条线的平面。记这个塌缩变换为 $T$，则这个二维平面就是我们所说的 $null\ T$ 或者 $ker\ T$。
相应的，如果空间塌缩成二维，则是一个一维空间作为 $ker\ T$。 当然，这也意味着 $ker\ T$ 是 $V$ 的子空间
你会觉得 $T\vec{x}=0$ 非常眼熟，这其实就是我们解齐次线性方程组时候干的事情，之后在讲的时候我们会进一步解释零空间在这个语境下的意思。
[!definition] $injective$ 单射 我们说 $T:V\to W$ 是单射当且仅当 \(Tu=Tv \Rightarrow u=v\) 另一种简单的说法是，每一个输入对应一个唯一的输出，而每一种输出都对应唯一的输入，用函数来说，就是不存在 $f(x_1)=y=f(x_2)$，所有数都是一一对应的。
我们用几何来理解，一旦 $ker\ T$ 有维度，那也就意味着有无数个向量 $v\in ker\ T$ 能够满足 $Tv=0$ ，这不满足单射的条件！ 这个结论的另一个形式是，如果一个映射算子 $T:V\to W$，其中 $dim\ V > dim\ W$，那么 $T$ 一定不是一个单射。
顺便的，我们来拓展一下满射 surjection和双射 bijection，这里我们就直接给出值域 range的定义了 \(range\ T=\{Tv:v\in V\}\) 同样的，很好理解，如果 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ ，那么 $range\ T$ 是 $W$ 的子空间
[!definition] $surjection$ 满射 如果 $T:V\to W$ 满足 \(range\ T=W\) 那么我们说 $T$ 是 $V$ 到 $W$ 的满射
[!definition] $bijection$ 双射 如果 $T:V\to W$ 同时满足 单射 和 满射 的条件，那么我们就称 $T$ 是一个 $V$ 到 $W$ 的双射。这种情况下 $V$ 和 $W$ 中的每一个元素都会有一个一一相互对应的关系。
和上面的结论相对应的，如果有一个映射算子 $T:V\to W$，其中 $dim\ V < dim\ W$，那么 $T$ 一定不是一个满射。
这个我讲一下我对维度的理解哦，我们对高维的理解有一个简单的方式，就是将三维空间的每一个点理解为一个实体，这个实体自身又拥有 $n$ 个属性，其中 $n=dim V-3$，也就是说，一个四维相当于在三维中的每一个点中，又存入了一条信息，这个信息表现为一个线，也就是又一个一维空间。显然，低维空间的一个点不可能线性的去对应一个高维的线上的每一个点，这是不对称的。
再进一步解释一下，一旦你要将低维映射到高维，那么多出来的维度就需要低维的量来决定，这就导致了肯定有无法表示的向量。
从名字你都可以看得出来这个定理有多重要。
[!definition] $fundamental\ theorem\ of\ linear\ transformation$ 线性变换基本定理 假设 $V$ 是一个有限维度的向量空间且 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，那么就会有 \(dim\ V=dim\ null\ T+dim\ range\ T\) 这个也被称为秩—零化度定理（Rank–Nullity Theorem）
这个结论有一个非常美妙的几何解释，这个我们会在后面专开一节讲解。我们先用代数的方法来证明。
[!quote] 线性变换基本定理的证明 我们先取 $null\ T$ 的一组基底 $u_1,\cdots,u_m$，由 [[Linear Algebra - 2.1 基底 Bases#基扩张定理|基扩张定理]] 可知，我们可以扩 $n$ 个与它们线性无关的向量 $v_1,\cdots,v_n\in V$ ，是的新的向量组成为 $V$ 的一个基 \(span(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n)=V\) 也就有 $dim\ V=n+m$，现在我们只需要证明 $dim\ range\ T=n$ 即可。 假设 $v\in V$ ，那么很容易得到 \(v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n\) 两边同乘 $T$，前面 $m$ 个因为零空间的定义，都成 $0$ 了，所以有 \(Tv=b_1Tv_1+\cdots+b_nTv_n\) 由定义，我们知道 $Tv$ 就是 $range\ T$，所以 \(Tv_1,\cdots,Tv_n\) 就是 $range\ T$ 的基底。也就是说 $dim\ range\ T=n$。
我们来理一下现在提到的几个概念：
[!tip] $range\ T$ 它也称为 像空间（image） 或 列空间（当 $T$ 用矩阵表示时）。 它的维数称为 秩（rank）。我们一般用 $r$ 表示。在 $T$ 是矩阵的时候有 \(dim(range\ T)=rank(T)\) 在之后我们会了解到 $r$ 实际上有着更深刻的意思。
]]>[!tip] $ker\ T=null\ T$ 零空间在线性方程组里实际上代表解空间，几何上是输入中“被压缩到零”的自由度，也就是信息损失掉的维度。
[!definition] $matrix$ $A_{j,k}$ 矩阵是一个 $m$ 行 $n$ 列的元素阵列，记为： \(A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & \vdots\\ A_{m,1} & \cdots & A_{m,n} \end{pmatrix}\) 其中 $A_{j,k}$ 代表第 $j$ 行第 $k$ 列的元素
一个线性变换 $T: V \to W$ 本身是抽象的，但一旦我们给 $V$ 和 $W$ 选择具体的基，就可以用矩阵这种具体的数字表格来表示它。简单来说，矩阵的作用是 输入一个向量在 V 的基下的坐标，输出它在 W 的基下的坐标。
[!definition] 矩阵表示的线性变换 $\mathcal{M}(T)$ 假设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 并且 $\vec{v}1,\dots,\vec{v}_n$ 是 $V$ 的一组基，$\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_m$ 是 $W$ 的一组基。 我们定义矩阵 $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列，是 $T(v_k)$ 在 $W$ 的基 ${w_1, \dots, w_m}$ 下的坐标。 \(T(\vec{v}_k) = A_{1,k} \vec{w}_1 + \cdots + A_{m,k} \vec{w}_m\) 这里的系数 $A{1,k}, A_{2,k}, \dots, A_{m,k}$ 就构成了 $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列
上面我们输入了一个 $v_k$ ，$T$ 将他从 $n$ 维变换到了 $m$ 维，此时我们已经规定了 $m$ 维的基底 $w_1,\dots,w_m$，所以 $T(v_k)$ 一定可以被 $w_1,\dots,w_m$ 唯一的线性表示。这也说明了 $A_{j,k}$ 的唯一性。 我们可以把矩阵的每一行对应上一个 $w_j$ ，列对应上一个 $v_k$，这样里面的每一列的元素都表示了 \(T(\vec{v}_k) = A_{1,k} \vec{w}_1 + \cdots + A_{m,k} \vec{w}_m\)
[!danger] 我们日常做题的时候，一般会选取标准基！ 我们挑选的两个基一个是 $V$ 空间的，也就是输入空间的，一个是输出空间 $W$，此时，我们一般会将两个空间的基都选为标准基： \(\left({\left(\displaylines{1\\0\\\vdots\\0\\0}\right)},{\left(\displaylines{0\\1\\\vdots\\0\\0}\right)},\cdots,{\left(\displaylines{0\\0\\\vdots\\1\\0}\right)},{\left(\displaylines{0\\0\\\vdots\\0\\1}\right)}\right)\) 也就是一个 对角单位矩阵。 这样的话，如果我们要就不需要去专门把每一个 $A_{i,j}$ 算出来了，我们来看一下上面的式子 \(T(\vec{v}_k) = A_{1,k} \vec{w}_1 + \cdots + A_{m,k} \vec{w}_m\) 如果 $\vec{w}$ 选为标准基，那么就只有一位是 $1$，其他都是 $0$，也就是说 \(T(\vec{v}_k)=\left(\displaylines{A_{1,k}\\\vdots\\A_{m,k}}\right)\) 这个式子的意思就是，在通过 $T$ 变换将 $V$ 的基 $\vec{v}_k$ 变换到 $W$ 后，它的坐标就是这个。我们也就会在矩阵里填入这个数。
这也引申出了一个更深刻的几何意义： 当矩阵作为线性变换的时候，它实际上是将 $V$ 中的标准基 $v_k$ 拉伸到了这个矩阵第 $k$ 列向量的位置。矩阵 $A$ 的第 $k$ 列就是输入空间的标准基向量 $e_k$ 被映射到的输出向量（用标准坐标表示）。
同时，这也说明了 $\mathcal{M}(T)$ 的构建需要至少两个空间的两个基底，才能表示出来。所以这个表示方法也可以写为 $\mathcal{M}(T,(v_1,\dots,v_n),(w_1,\dots,w_m))$
这样，在定义完成之后，我们要想通过 $\mathcal{M}(T)$ 来计算一个变换，就可以这样用矩阵的乘法来计算了。
[!example] 用矩阵来表示函数空间中的求导映射算子 假设求导算子 $\frac{d}{dx}\in \mathcal{L}(\mathcal{P}_3(\mathbb{R}),\mathcal{P}_2(\mathbb{R}))$，因为我们规定了 $(x^n)’=nx^{n-1}$ ，也规定了输入空间的输出空间的基均为 $(1,x,x^2,\dots,x^m)$，则矩阵为： \(\mathcal{M}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\) 我们以这个为例子来分析一下:
- 对于 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 的第一个基向量 $1$，把他映射到了 $0$ 上，这是一个降维操作
- 对于 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 的第二个基向量 $x$，把他映射到了 $(1,0,\cdots)$ 上，也就是 $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 的第一个基向量——常数项上，这符合我们对求导的认知！
- 后面不多赘述，就是多了个指数项
我们提到了，线性方程组其实可以理解为被赋予了意义的向量组，那么我们不妨去探索一下它作为向量组时的几何意义。回忆一下 [[Linear Algebra - 5.1 齐次线性方程组 Linear equation|线性方程组]] 的内容：
一个方程组表示为，如果你竖行的来看，他其实就是 $n$ 个向量数乘后相加，$x_k$ 就是这个数 \(\begin{cases} A_{1,1} x_1+\cdots+A_{1,n} x_n = 0 \\ \quad \vdots \\ A_{m,1} x_1+\cdots+A_{m,n} x_n = 0 \end{cases}\)
实际上齐次线性方程组是在问——存不存在一个 n元数字组（当然，你也可以把他叫成向量）使得： \(x_1\vec{v_1}+\cdots+x_n\vec{v_n}=(0,\cdots,0)^T\in\mathbb{F}^m\) 你会发现，如果把 $\vec{v}_k$ 全部都打开，这个式子其实就和上面的式子等价了： \(x_1{\left(\displaylines{A_{1,1}\\\vdots\\A_{1,m}}\right)}+\cdots+x_n{\left(\displaylines{A_{1,n}\\\vdots\\A_{m,n}}\right)}=(0,\cdots,0)^T\in\mathbb{F}^m\) 回忆一下我们之前将 [[Linear Algebra - 2 张成、线性相关与线性独立|线性无关]] 时候的公式，这实际上在看这 $n$ 个 $m$ 维向量是否 线性无关，也就是说。显然，要线性方程组有非零解，也就是 $x_1,\dots,x_n\neq0$ ，则要求这些向量 线性相关。即：
| 这样，[[Linear Algebra - 5.1 齐次线性方程组 Linear equation#齐次线性方程组的推论 | 齐次线性方程组的推论]] 就有了另一个直观的解释，这我们之前在 [[Linear Algebra - 2 张成、线性相关与线性独立#线性无关与相关的推论 | 线性独立的推论]] 里提到了。 |
[!tip] 推论 特别的，$n+1$ 个向量的 $n$ 维向量组必线性相关。
这也就是我们所说的 $n>m$ 了。 对于另一个推论，我说 可能无解 的意思是，他对基底的要求比较苛刻。我们之后再来补充
]]>本文作为线性代数课程的思政作业，主要从以下三个方面展开：我对线性代数与马克思主义哲学相结合的理解、在线性代数课程中的收获，以及对数学本质的若干思考。同时也借此机会尝试使用 $\LaTeX$ 进行排版。
同济大学《线性代数》教材从实际问题出发，首先回顾了我们已经熟知的方程组概念，并提出具体问题——如何求解一个线性方程组？由此引入了行列式作为解决问题的工具。这一编排与马克思主义哲学中“理论来源于实践，新概念的引入总有其实际需要和意义”的观点不谋而合。
在讲解行列式计算时，教材从二阶行列式入手，逐步过渡到三阶行列式，最后推广到高阶情形。这种由简到繁的呈现方式，体现了马克思主义哲学中 “从特殊到一般” 的认识规律，也符合唯物辩证法关于事物普遍联系的观点。
在行列式计算中，我们遇到了上三角行列式和下三角行列式。在掌握后者计算方法的基础上，通过推导和变换，可以将下三角行列式转化为上三角行列式来处理。进而，对于一般形式的行列式，我们也尝试将其化为三角形式进行计算。这种 “从特殊行列式的计算推广到一般行列式，并建立一般与特殊之间联系” 的过程，生动体现了 “事物由内部不同要素构成，且这些要素之间存在着相互联系” 的辩证思想。
引入矩阵概念时，我最初对它与行列式的区别感到困惑。教材中首先对两者进行了辨析，这正体现了唯物辩证法的基本观点：认识事物既要看到其相互区别的一面，也要看到其相互联系的一面。
又如矩阵的秩，在代数上它定义为矩阵经初等行变换后阶梯形矩阵的非零行行数；而在后续学习向量组理论后，我们理解到其几何意义——它代表该矩阵列向量组所张成空间的维数。通过普遍联系的视角，将向量组理论与秩的概念相结合，从而透过形式把握本质，实现 “形变质不变” 的认识深化。同时，向量组的观点也体现了整体与部分的辩证关系。
在我的认知中，数学常被视为具有形而上学特质。在西方哲学传统里，“形而上学”（Metaphysics）研究“存在本身”“实体”“第一因”等超越经验的领域，其典型特征是用孤立、静止、片面的观点看待世界，认为事物是彼此孤立、永恒不变的；即使有变化，也只是数量的增减或场所的变更，且变化原因外在于事物自身。这听起来像是一种相当负面的评价，但马克思主义哲学教导我们要以辩证的视角看待事物。我并非哲学专业，对“Metaphysics”一词的理解也较为浅显，仅能将其拆解为“Meta”和“Physics”，理解为“物理之上”或“本源之学”。
《易经》有云：“形而上者谓之道，形而下者谓之器。”形而上者指超越具体形器的抽象本质，形而下者则指日常经验中的具体器物。从小学到高中，我常感到数学在现实生活中的直接应用似乎有限——具体计算多由机械工具代劳，而高深数学思想在日常生活中也难以直接施展。学习期间也常听到周围人调侃：“数学没什么用，难道将来工作中还要给领导解方程吗？”放眼社会，东方文化中确有注重“经验主义”的倾向，这与马克思主义哲学“理论来源于实践”的观点相契合。因此我们在学习时往往倾向于从实际出发，关注概念的实际用途，更重视其方法论意义。
但这种经验导向的思维与数学本身的形而上学气质存在一定冲突。同济版《线性代数》教材在教学过程中给我较强的 “功利感”，似乎专为应试而设计。尽管它试图联系实际，但在我看来效果并不理想，因为方程组这一切入点对于经历过高中阶段各种复杂数学训练（且大多与方程组无关）的我们来说，难以引起足够共鸣。由于缺乏解方程组的实际需求，我们便不易理解线性代数的真正意义。况且线性代数的用途远不止解方程组，它有着深刻的几何内涵，广泛应用于物理学、计算机科学、拓扑学、群论等诸多领域。但对于刚入大学的一年级学生——尤其像我们这样大一未开设大学物理的专业——更难以体会线性代数的重要性和实际价值。上述因素共同导致我们在学习过程中常感困惑。
教材中关于特征值的部分便是一例。第 120 页对其实际意义的说明仅为 “在工程技术中可归结为求方阵特征值和特征向量的问题”，这很容易让读者感到疑惑。以我个人为例，当时便产生一系列疑问：特征值究竟是什么？为什么要这样计算？它到底有什么用处？为什么它能解决工程问题？而这些问题的答案却被淹没在紧随其后的形式化定义和大段证明之中。
为了弄清这些问题，我专门观看了 3Blue1Brown 的系列视频，初步了解后又研读了Sheldon Axler 的 《线性代数应该这样学》（尽管只有英文版，仍坚持读完）。这才对特征值有了些许属于自己的理解：特征向量在几何上代表变换前后方向保持不变的向量。如果变换是刚性旋转（如正交矩阵所表示的变换），那么特征向量张成的直线便是旋转轴。这一认识与我之前所学的“四元数表示三维旋转”知识联系了起来。而这些直观背景恰恰是教材所欠缺的，我认为这是教材的不足之处。
不过，马克思主义认为数学并非纯粹的“形而上学”。感到数学“更接近形而上学”是很自然的，因为数学的抽象性、确定性和非经验性，确实容易让人联想到传统形而上学的研究对象。马克思主义恰恰要打破这种印象，主张数学根植于物质实践，其有效性正源于它对现实世界的高度提炼，而非因为它描述了某个超验世界。马克思主义对数学的基本看法是：数学起源于实践，是现实的反映而非超验实在；其发展受社会实践与生产力推动；数学的工具性与真理性统一于实践。
最后，让我们回归线性代数本身：作为工具，它提供精确的推理与预测，帮助改造世界。虽然它不可避免地带有形而上学色彩，但马克思主义拒绝将二者割裂，认为数学的“形而上学面貌”仅是其高度抽象性的表象，强调其抽象内容仍来源于现实，其真理性最终由实践检验
]]>[!definition] $basis$ $V$ 的基是指一个线性无关，且张成 $V$ 的向量组。
这和我们高中理解的基底几乎一模一样。对于一个空间直角坐标系，其标准基为 $(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$，也就是 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 。
[!quote] 基的特性 当且仅当 $V$ 中的每一个变量可以被某个线性无关组以唯一方式表示的时候，我们称这这个组为 $V$ 的基。
有一个浅显的推论是，对于 $V$ 中的任意一个线性无关组 $S$，都可以通过加入 $m$ 个新向量，拓展为一个 $V$ 的基。和前面学到的 [[Linear Algebra - 1.2 子空间 Subspace#直和 $ oplus$|直和]] 结合，我们得到如下的推论。
]]>[!quote] 每一个 $V$ 的子空间都可以是一个直和为 $V$ 的等式的一部分 假设 $U$ 是 $V$ 的子空间，那么一定存在一个子空间 $W$ 使得 \(V = U\oplus W\)
| 这也非常符合我们的直观直觉，毕竟我们也就在三维空间中，[[Linear Algebra - 2.1 基底 Bases | 上节]] 我们说了，三维空间的标准基长度也正好是 $3$，所以我们所在的空间就是三维的！ |
[!definition] $dimension\ dim\ V$ 一个有限维度空间的维度等同于它的任意基的长度，表示方法为 \(dim(V)\) 非常简单的一个推论我也直接写这里了，就是对 $V$ 的任意子空间 $U$ 总有 \(dim\ U\leq dim\ V\) 同样的，$V$ 中每一个长度为 $dim\ V$ 的线性无关组都是 $V$ 的基底
我们在 [[Linear Algebra - 1.2 子空间 Subspace|子空间]] 里提到过子空间和的维度计算公式，这里再列一遍： \(\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)\)
其实这个概念和集合论有许多相似之处，我们来进行以下比较：
| $sets$ | $vector\ spaces$ |
|---|---|
| $S$ 是一个有限集 | $V$ 是一个有限空间 |
| $S_1\cup S_2$ 是最小的包含 $S_1,S_2$ 的子集 | $V_1+ V_2$ 是最小的包含 $V_1,V_2$ 的子空间 |
| $#(S_1\cup S_2)=#S_1+#S_2-#(S_1\cap S_2)$ | $\dim(V_1+V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim(V_1 \cap V_2)$ |
| 若$#(S_1\cup \cdots \cup S_m)=#S_1+\cdots+#S_m$，则表示这些集合是不相交 disjoint的集合 | 若$\dim(V_1+\cdots+V_m) = \dim V_1 +\cdots+ \dim V_2m$，则表示 $V_1+\cdots+V_m$ 是直加 |
或许我以后会有改观，但就现在而言，我认为把 线性代数 Linear Algebra 和 空间 Spaces 分开来教简直是最错误的决定（甚至不教空间的任何东西），这也就是同济大学的线代教材在干的事情，所以我是相当讨厌这个教材的。高数就另当别论了，那个并不注重与理解，毕竟容易理解，更多的是你积累的方法论够不够。
前天看了 Pikachu345 的视频，我一直觉得说的很有道理，目前教育体系的很大一个问题是就是太注重应试而非本质上的理解，也就是过度追求与 怎么做 的过程而非 为什么。这显然是有害的，因为你没有办法变通，你需要靠大量的积累和刷题去获得各种方法论从而解决问题，但是一旦直到 为什么 你对方法论也就无师自通了。
| 另外，我之前是比较抗拒在电脑上记数学方面的笔记的，但是现在想象好像也没什么不妥，很大一部分原因是当时笔记的记录的体系不够成熟。详见 [[数学概念的定义 | 数学废稿]]，那一块知识点非常难以消化，导致我对记笔记本身都产生了厌恶。还有一个排斥的原因是当时认为obsidian的自由度不够高，现在看来只是当时的技术不够成熟罢了。 |
这里将线性代数会从 Essence of Linear Algebra - 3Blue1Brown 和 Linear Algebra Done Right - Sheldon Axler 两篇文献来讲述线性代数，但主要是跟随后者的脚步来记录的。接下来我会一点一点捋顺线性代数中的基本知识点和其代表的几何意义，实际用途，以及我觉得非常重要的——为什么这么命名。
]]>我们可以先把向量理解为一个复平面上的向量。这里我们引入 $R^n$ 和 $C^n$，其中 $R$ 就是我们熟知的实数数域，$C$ 则是复数数域，前者定义需要用到 [[Lambda - 3 自然数定义#皮亚诺公理 Peano Axioms|Peano Axioms]] 我们这里不做赘述，后者则是在前者的基础上定义的：
[!definition] 复数 $C$ \(C=\left\{a+bi : a,b\in R\right\}\)
如果 $b$ 恒为 $0$，则显然此时的子集和 $R$ 一致，所以我们认为 $R$ 是 $C$ 的子集。方便起见，我们给 $R$ 和 $C$ 这两个集一个统一的名字 $F$ for $Fields$ ，即域。下面的 $F$ 就可以被视为 $R$ 或者 $C$ 中的任意一个。
[!attention] 复数也是一维的！ 一个很常见的误区是认为复数是一个二维的数，但其实复数所处的空间是一维的，复平面只是为了方便我们理解才造出来的一个升维后的空间。这也才会有实空间 $R$ 和复空间 $C$。
我们所熟知的二维和三维空间可以简单的表示为 $R^2$ 和 $R^3$，定义为： \(R^3=\{(x,y,z):x,y,z\in R\}\) 为了推广到高维空间，我们首先定义什么是 $列 / 组$
[!Definition] $list$
- 假设 $n$ 是一个有限的非负整数，一个 $list$ 就是 $n$ 个有序排列的元素所组成的合集
- 当且仅当两个 $list$ 有相同长度，相同元素以相同顺序排列时，两个 $list$ 相等
当然，我们更多情况下叫它 $组$，即 $n-tuple$。同时，和python一样，我们允许空列的存在，这样可以预防一些例外的存在。
[!attention] 区别 $集 set$ 和 $组 list$ 和python里的概念一样，$list$ 是需要特定顺序的，而 $set$ 则是无序的
接下来，让我们将 $n$ 固定下来，下面我们都将把 $n$ 视作一个固定的有限正整数。
[!definition] $F^n$ $F^n$ 是所有元素为 $F$ 中元素的 $n$ 元组 \(F^n=\{(x_1,\cdots,x_n):x_k\in F\ for\ k=1,\cdots,n\}\)
这样的话，$C^4$ 就可以理解为 ${(z_1.z_2,z_3,z_4):z_1,z_2,z_3,z_4\in C}$ 当然，四维以上的空间我们就不能做可视化操作了，毕竟低维永远无法真正理解高维。
$F^n$ 中的加法法则需要对位相加减，即$(x_1,\cdots,x_n)+(y_1,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)$ 下面为了避免重复写这些括号，我们直接用 $x$ 和 $y$ 代替一个 $n$ 元组。$0$ 为 $(0,\cdots,0)$。
和我们的理解一样，一个 $n$ 维向量需要一个 $n$ 元组来表示。线性代数之所以为代数，就是因为我们所能理解的空间只能是 $R^3$，更高维度的虽然无法被几何上表示，但是代数规则依然是可行的。
值得一提的是，向量不一定需要被表示为一个可以随意移动的箭头，我们这么做只是为了方便理解。向量实际上可以是任何东西，只要它身上的某些数字可以满足属于 $F^n$，且符合向量空间的运算规则。这也就是为啥我们学高数的时候也会需要用到线性无关之类的概念，因为函数空间也是一个线性的空间。
很多概念其实在高中我们都理解，甚至刻入DNA了，这里就不做过多赘述。接下来我们讲一下数乘Scaler Multiplication
[!definition] $Scaler\ Multiplication$
- 对于一个Scaler $\lambda$ 来说，它与一个向量的乘法表示为：\(\lambda(x_1,...x_n)=(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)\)这里之所以不对Scaler进行翻译，是因为我认为它在英文里有更好的双关意，一方面是它的代数意义，也就是数。另一方面则是几何上的，它等同于将一个向量伸缩 $\lambda$ 倍
| 这个其实我们在讲 [[四元数 - 1 单位球体降维和旋转的表示#四维旋转的理解 | 四元数]] 的时候有提到过这个概念 |
域其实是一个抽象代数领域的名词，但是我觉得还是相当有必要了解的。这里就提一点基础的。 域可以有很多，可以是二进制域、p进数、四元数，但它们都具有一些共同点
- 都包含至少两个被称为 $0$ 和 $1$ 的数，以满足公理体系 ($F_2={0,1}$就是最小的域，其中 $1+1=0$)
- 定义了加法 $+$ 和 $\cdot$ 运算
- 满足常见的运算性质，如结合律 Associative Property、交换律 Communtative Property、分配律 Distributive Property、逆元运算等
依旧需要注意，上面和下面提到的 $0$ 和 $1$ 都不是 $R$ 意义上的 $0$ 和 $1$ ，而是一种代数指代。下面的 $*$ 也是一种运算上的指代。 下面列一下它们满足的公理
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- 运算封闭性 Closure (群论1) \(\forall a,b\in F,a * b\in F\)
- 运算结合律 Associativity (群论2)\(\forall a,b,c\in F,(a * b)* c=a * (b * c)\)
- 单位元 / 中性元存在 Neutral (群论3)：
- 单位元又称零元或幺元。在一个集合中，对于某种运算 $*$，如果对于任何的集合元素 $a$，和元素 $e$ 运算，得到还是集合元素 $a$ 本身，则称 $e$ 为这个运算下的单位元。
- 加法：\(\exists0\in F,\forall a\in F,a+0=a\)
- 乘法：\(\exists1\in F,\forall a\in F,a\cdot1=a\)
- 逆元存在 Reverse (群论4)：
- 在一个集合中，对于某种运算 $*$，如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。
- 加法：\(\forall a\in F,a\neq0,\exists(-a)\in F,a+(-a)=0\)
- 乘法：\(\forall a\in F,a\neq0,\exists a^{-1}\in F,a\cdot a^{-1}=1\)
- 运算交换律 (阿贝尔群满足的条件) \(\forall a,b\in F,a*b=b*a\)
- 分配律 \(\forall a,b,c\in F,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)在交换乘法下，右分配律自动成立
上一节我们讲了一个数域里面可以有许多关于加法和数乘美好的性质
[!definition] $addition$ \(\forall u,v\in V,u+v\in V\)
[!definition] $Scaler\ Multiplication$ 见 [[Linear Algebra - 1 向量与空间#向量 vector|Scaler Multiplication]] \(\forall \lambda\in F,\forall v\in V,\lambda v\in V\)
那么我们不妨定义一个向量空间满足上面的这些性质
[!definition] $Vector\ Space$ 向量空间由一个向量集 $V$，标量域 $F$，加法，数乘组成，满足以下性质：
- Axiom1: 交换律\(\forall \vec{u},\vec{v} \in V,\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\)
- Axiom2,3: 结合律\(\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V,\forall a,b\in F,(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\ and\ (ab)\vec{v}=a(b\vec{v})\)
- Axiom4: 加法单位元\(\exists 0\in V,\forall \vec{v}\in V,\vec{v}+0=\vec{v}\)
- Axiom5: 加法逆元\(\forall \vec{v}\in V,\exists \vec{w}\in V,\vec{v}+\vec{w}=0\)
- Axiom6: 乘法单位元\(\forall \vec{v}\in V,1\vec{v}=\vec{v}\)
- Axiom7,8: 左乘/右乘分配律，这里不写了
有了上面的八条公理后，对于任意一个满足上面公理的集合，都可以被称为一个向量空间了！其实，基本上只要定义了加法和数乘就行。
你可以把向量空间里的每一个元素想象为一个箭头或者点，但它们可能实际上并不代表这些东西！ 硬要说，向量空间本身也就是个集，只不过是加上了一些运算规则。
[!attention] 向量空间不是一个域 向量空间是一个基于另一个给定的域 (我们这里是 $F$) 的空间，回忆一下我们给到的 [[Linear Algebra - 1 向量与空间#域 Field|域的定义]] ，发现向量空间其实是没有定义向量间的乘法的，所以不能算作一个域。 准确来说，一个向量空间应该表示为 \((V,F,+,\cdot)\)
这里补充介绍一下一般数学结构的表示方法——元组表示法，具体怎么叫我不太清楚。 其形式为： \((承载合集,运算1,运算2,\cdots,特殊元素)\) 其中承载集合 (underlying set) 的定义为：
An underlying set refers to the foundational set of elements that form the basis of mathematical structures, such as a group, vector space, or topological space.
| 在之前介绍 [[Lambda - 3 自然数定义#皮亚诺公理 Peano Axioms | Peano Axioms]] 的时候也有提到一个自然数的定义 $(A,0,(.)*)$ |
函数空间其实有点涉及到泛函分析一块了，但是这里还是提一下。 我们说了，向量其实可以是很多东西，当然这也包括函数。正常的实数空间 $\mathbb{R}^n$ 其实就是选定 $n$ 个正交的基底所张成的空间，那么一个函数空间就是用一系列基函数张成的空间，这么一个空间就由 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 表示。就是我们接下来我们来定义一下 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 的啥。
[!definition] $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 函数空间 如果 $\mathcal{S}$ 是一个集合，那么 $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 代表一个函数集合能够将 $\mathcal{S}$ 中的每一个值映射到 $\mathbb{F}$ 的某一个值上。即： \(\mathbb{F}^S = \{ f \mid f: S \to \mathbb{F} \}.\)
[!example] 假设 $\mathcal{S}$ 中的数为 ${s_1,\cdots,s_n}$ ，那么这个函数集合里的元素就可以是，比如说，$f$，它能做到 $f(s_1)=a_1, \cdots,f(s_n)=a_n$，其中 $a_1,\cdots,a_n\in F$；还可以是 $g$，使得 $g(s_1)=114514,\cdots,g(s_n)=1919810$ 。上面就是两个 $\mathcal{S}$ 到 $\mathbb{F}$ 的函数
由于上面提到的函数 $f$ 仅由 $n$ 个值决定，其他值可以完全抛弃不管，所以你完全可以把一个函数列为有序的实数对，例如 $g\leftrightarrow (114514,\cdots,1919810)$ 所以每一个函数就可以可以由 $(f(1),\cdots,f(n))$ 表示了，其中 $n$ 就是 $\mathcal{S}$ 的长度
但是你要知道，大部分情况下我们处理的是无限集，也就是类似于 $\mathbb{R}^\mathbb{R}$，这就是我们日常生活中最常用的平面直角坐标系了，我们接触到的大部分函数都是属于这个集的。 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，对于函数来说，就是输入一个实数，返回一个实数。当然，无限集和有限集的运算规则都还是一样的，唯一不同的不同就是项数。所以这里就不过多解释了。
我们再举一个例子，$\mathbb{R}^{[0,1]}$，这时候像 $f(x)=x，f(x) = \sin(2\pi x)$ 之类的都可以是里面的函数，只不过 $x$ 的取值范围被限定要属于 $\mathcal{S}$，也就是这里的 $[0,1]$。
简单来说，$S$ 相当于定义域 domain而 $F$ 相当于值域空间 codomain
[!example] 接上面的提示 这也就是说，对于一个有限集 $\mathcal{S}$ 来说，$R^\mathcal{S}$ 与 $R^n$ 同构。因为前后两者对于自己的 $n$ 个向量都可以随意取值。当然，这有更深刻的意义。 可以将 $R^n$ 看作 $R^{{1,\cdots,n}}$ ，这样它里面的函数就表示为 $(f(1),\cdots,f(n))$ ，相当于 $R^n$ 中的每一个点。
[!definition] $\mathbb{F}^\mathcal{S}$ 函数空间的性质 对于加法有：\(\forall f,g\in\mathbb{F}^\mathcal{S},(f+g)(x)=f(x)+g(x)\) 对于数乘有：\(\forall\lambda\in F,\forall f\in \mathbb{F}^\mathcal{S},(\lambda f)(x)=\lambda f(x)\) 定义一个单位元：函数 $0$，即输入一个 $x$，总是返回一个 $0$，且一个向量空间只有一个单位元 \(0(x)=0\) 定义一个逆元：一个向量空间每一个元素有且只有一个逆元 \(\forall f\in \mathbb{F}^\mathcal{S},(-f)(x)=-f(x)\)
这可以解释一个我们在学线代的时候的一个有趣现象，例如对任意矩阵 $A$ 有： \(A\cdot0=O\) 这就说明一个向量数乘完之后应当还是一个向量
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